Question

Найти сумму первых членов ряда, и пользуясь непосредственно определением, выяснить сходимость ряда, найти его сумму

Answer 1

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n=0$ - необходимое условие сходимости ряда выполняется, ряд сходится.

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(2n-1)(2n+5)}=\frac{1}{6}\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\right)=\frac{1}{6}\bigg(1-\frac{1}{7}+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\\ \\ \\ +\frac{1}{5}-\frac{1}{11}+\frac{1}{7}-\frac{1}{13}+\frac{1}{9}-\frac{1}{15}+...+\frac{1}{2n-4}-\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\bigg)\\ \\ \\ =\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+5}\right)$

$\displaystyle S_n=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+5}\right)$ - частичная сумма числового ряда. Переходя к пределу при $n\to \infty$, найдем сумму.

$S=\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n= \frac{1}{6}\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+5}\right)=\frac{1}{6}\cdot \left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)=\\ \\ \\ =\frac{1}{6}\cdot \frac{15+5+3}{15}=\frac{23}{90}$

Сходимость ряда выполняется.