Question

Доказать, что 8^n + 15^n-2⁞7

Answer 1

8 имеет остаток 1 по модулю 7. 1*8=8=1 mod 7, поэтому любая степень 8 имеет остаток 1.

С 15 ситуация аналогична. Поэтому сумса 8 и 15 каждая в степени n имеет остаток 2 по модулю 7. Значит, если вычес двойку, то остаток будет 0, что значит, что полученное число делится на 7

Answer 2

Методом мат. индукции

1. проверим при n =1;  8+15-2=21 делится на 7

2. предположим, что при n=в делится на 7 выражение

8ᵇ+15ᵇ-2делится

3. докажем, что при n=в+1 тоже делится на 7 выражение

8ᵇ⁺¹ + 15ᵇ⁺¹-2=8ᵇ*8+15ᵇ*15-2=(8ᵇ+15ᵇ-2) +(8ᵇ*7+15ᵇ*14)=(8ᵇ+15ᵇ-2) +7*(8ᵇ+15ᵇ*2) первая скобка делится на 7 по предположению, а вторая делится на 7, т.к. один из множителей 7 делится на 7, то и произведение 7*(8ᵇ+15ᵇ*2) разделится на 7. Требуемое доказано.