Question

Число различных простых делителей а=6(в степени m+1)*21(в степени m-1) равно m. Найдите число натуральных делителей а.

Answer 1

$a=6^{m+1}\cdot 21^{m-1}=(2\cdot 3)^{m+1}\cdot (7\cdot 3)^{m-1}=2^{m+1}\cdot 3^{m+1}\cdot 7^{m-1}\cdot 3^{m-1}=\\ \\ =2^{m+1}\cdot 3^{m+1+m-1}\cdot 7^{m-1}=2^{m+1}\cdot 3^{2m}\cdot 7^{m-1}$

Число а имеет ровно $(m+1+1)(2m+1)(m-1+1)=m(m+2)(2m+1)$ делителей, что по условию, равно m. Составим уравнение

$m(m+2)(2m+1)=m\\ \\ m((m+2)(2m+1)-1)=0\\ \\ m(2m^2+5m+2-1)=0\\ \\ m(2m^2+5m+1)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю

$m=0\\ 2m^2+5m+1=0$

Это квадратное уравнение натуральных корней не имеет.

и m = 0 - не натуральное.