Question

Помогите решить
AK и BM медианы треугольника ABC
Выразить через вектора a=AK и b= BM вектор СА

Answer 1

Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

$\overrightarrow{AO}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AK},~~~\overrightarrow{BO}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BM}$

Из треугольника АОВ по правилу треугольника

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{BO}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}\right)=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$

Далее по правилу треугольника из треугольника ABK

$\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}=-\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{a}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \\ \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{b}$

Для треугольника АВС по правилу треугольника:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{b}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \\ \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{a}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}$