Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называют «счастливым», если сумма первых трёх цифр его номера равно сумме трёх последних цифр. Докажите, что количество всех «счастливых» билетов четно.
Ответы
Ответ:
доказательство в объяснении.
Объяснение:
Это довольно известная задача.
Для любого счастливого билета существует парный ему билет, у которого каждая цифра является дополнением соответствующей цифры счастливого билета до 9.
Например
183291 парный билет будет 816708
и в этих парных билетах сумма первых трех цифр будет равняться сумме последних трех.
Посмотрим.
хyznmk первое число (x+y+z) = (n+m+k) (1)
(9-x)(9-y)(9-z)(9-n)(9-m)(9-k) второе число.
Посмотрим, будет ли сумма первых трех цифр у этого числа равняться сумме последних трех.
9-x + 9-y + 9-z ? 9-n + 9-m + 9-k
27 - (x+y+z) ? 27 - (m+n+k)
Учитывая формулу (1), мы можем сделать вывод, что во втором числе выполняется равенство
9-x + 9-y + 9-z = 9-n + 9-m + 9-k,
т.е. в парном числе выполняется условие, что сумма первых трех цифр равна сумме последних трех цифр.
При этом каждому счастливому билету соответствует также счастливый билет. И других счастливых билетов нет.
Таким образом, все счастливые билеты мы разбили на пары. Т.е. количество счастливых билетов является числом четным.
#SPJ5