Question

докажите, что n^5 - n делится на 30

Answer 1

n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1) 
Так как (n-1),n,(n+1) следуют по порядку, то одно из них обязательно кратно 3, и одно из них обязательно кратно 2, то есть их произведение обязательно кратно 3. Оно не будет кратно 5, только, если n=5k+2 или 5k+3. В остальных случаях один из сомножителей n-1,n или n+1 будет кратен 5 и все выражение будет кратно 6*5=30. 
Рассмотрим случаи: n=5k+2 и n=5k+3 
1)n=5k+2 
2n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)-кратно 5-> все выражение кратно 30 
2)n=5n+3 
n^2+1=(5k+3)=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)-кратно 5->все выражение кратно 30.