Question

Пусть A - множество квадратов натуральных чисел, B - множество кубов натуральных чисел. Выберите те числа, которые принадлежат пересечению множеств A и B.


Вариантов ответа может быть несколько

16
27
64
1

Answer 1

Если число n является элементом пересечения А и В, то есть два натуральных числа m и k, для которых выполняется,

$n=m^2\\n=k^3$

Рассмотрим равенство (последовательно преобразовывая его),

$m^2=k^3\\m^2=k\cdot k^2\\m=k\cdot\sqrt{k}$

Откуда заключаем (т.к. m натурально), что существует такой натуральный d для которого выполнимо,

$k=d^2$

Подставляя это в прошлое равенство, получаем,

$m=d^3$

Т.е. для того чтобы выполнялось условие,

$m^2 = k^3$

Должно выполняться условие,

$d^4=d^6$

Т.е. только тогда, когда $d = 1$.