Question

Решите неравенство

1) |3x+1|<4
2) |2x-5|≥x-1
3) |5-2x|>1
4) |x|+|x+3|<5
По быстрее можно пжжж

Answer 1

$1)\;\; \; |3x+1|<4\; \; \Leftrightarrow \; \; \; -4<3x+1<4\; \; ,\\\\-5<3x<3\; \; ,\; \; \; -\frac{5}{3}<x<1\\\\\\2)\; \; \; |2x-5|\geq x-1\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \left [ {{2x-5\geq x-1} \atop {2x-5\leq -(x-1)}} \right.\; \; \left [ {{x\geq 4} \atop {3x\leq 6}} \right.\; \; \left [ {{x\geq 4} \atop {x\leq 2}} \right. \; \; \to \\\\x\in (-\infty ,2\, ]\cup [\, 4,+\infty )\\\\\\3)\; \; |5-2x|>1\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \left [ {{5-2x>1} \atop {5-2x<-1}} \right.\; \; \left [ {{2x<4} \atop {2x>6}} \right.\; \; \left [ {{x<2} \atop {x>3}} \right. \; \; \Rightarrow \\\\x\in (-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$

$4)\; \; \; |x|+|x+3|<5\\\\-----(-3)---(0)-----\\\\a)\; \; x\leq -3:\; \; x<0\; ,\; \; |x|=-x\; \; ; \; \; x+3<0\; ,\; |x+3|=-x-3\; ;\\\\-x-x-3<5\; \; \to \; \; -2x<8\; ,\; \; \underline {x>-4}\; ,\\\\\underline {\; x\in (-4,-3\, ]\; }\\\\b)\; \; -3<x\leq 0:\; \; |x|=-x\; ;\; \; |x+3|=x+3\; ;\\\\-x+x+3<5\; \; \to \; \; 3<5\; \; \Rightarrow \; \; \underline {\; x\in (-3,0\, ]\; }\\\\c)\; \; x>0:\; \; |x|+|x+3|=x+x+3<5\; \; verno\; \; ; \to \; \; 2x+3<5\; ,\; \; \underline {\; x<1\; }\\\\\underline {\; x\in (0,1)\; }\\\\Otvet:\; \; x\in (-4,-3\, ]\cup (-3,0\, ]\cup (0,1)=(-4,1\, )$

Answer 2

Ответ:

1) x ∈ ($-\frac{5}{3}$, 1)

2) x ∈  (-∞, 2] U [4, +∞)

3) x ∈ (-∞, 2) U (3, +∞)

4) x ∈ (-4, 1)

Объяснения:

1) |3x + 1| < 4.

Рассмотрим возможные случаи:

[  3x + 1 < 4, 3x + 1 ≥ 0                    [  x < 1, x ≥ $-\frac{1}{3}$

|                                             ⇔      |

[  - (3x + 1) < 4, 3x + 1 < 0                [  x > $-\frac{5}{3}$, x < $-\frac{1}{3}$

[  x ∈ [$-\frac{1}{3}$, 1)              [  

|                                                 ⇔      |  x ∈ ($-\frac{5}{3}$, 1)

[  x ∈ ($-\frac{5}{3}$, $-\frac{1}{3}$) [  

2) |2x - 5| ≥ x - 1

|2x - 5| - x ≥ -1

Рассмотрим возможные случаи:

[  2x - 5 - x ≥ - 1, 2x - 5 ≥ 0                    [  x ≥ 4, x ≥ $\frac{5}{2}$

|                                             ⇔             |

[  - (2x - 5) - x ≥ -1, 2x - 5 < 0                 [  x ≤ 2, x < $\frac{5}{2}$

[  x ∈ [4, +∞)                [  

|                           ⇔    |  x ∈  (-∞, 2] U [4, +∞)

[  x ∈ (-∞, 2]                 [  

3) |5 - 2x| > 1

Рассмотрим возможные случаи:

[  5 - 2x > 1, 5 - 2x ≥ 0                    [  x < 2, x ≤ $\frac{5}{2}$

|                                             ⇔      |

[  - (5 - 2x) > 1, 5 - 2x < 0                [  x > 3, x > $\frac{5}{2}$

[  x ∈ (-∞, 2)                   [  

|                           ⇔      |  x ∈ (-∞, 2) U (3, +∞)

[  x ∈ (3, +∞)                  [          

4) |x| + |x + 3| < 5

Рассмотрим возможные случаи:

[  x + x + 3 < 5, x ≥0, x + 3 ≥ 0                   [  x < 1, x ≥ 0, x ≥ -3

[  -x + x + 3 < 5, x < 0, x + 3 ≥ 0                 [  x ∈ R, x < 0, x ≥ -3

|                                                            ⇔  |

[  x - (x + 3) < 5, x ≥ 0, x + 3 < 0                 [  x ∈ R, x ≥ 0, x < -3

[  -x - (x+3) < 5, x <0, x + 3 < 0                   [  x > -4, x < 0, x < -3

[  x < 1, x ∈ [0, +∞)                    [  x ∈ [0, 1)               [

[  x ∈ R, x ∈ [-3,0)                     [  x ∈ [-3, 0)             [

|                                          ⇔  |                          ⇔ |  x ∈ (-4, 1)

[  x ∈ R, x ∈ ∅                           [  x ∈ ∅                    [

[  x > -4, x ∈ (-∞, 3)                   [  x ∈ (-4, -3)             [