Question

Помогите решить выражение с кубическим корнем, пожалуйста :)

Answer 1

Возведём в куб заданное выражение по формуле $(a+b)^3=\=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ 
 $(sqrt[3]{7+5sqrt2}+sqrt[3]{7-5sqrt2})^3=\\=7+5sqrt2+7-5sqrt2+3sqrt[3]{(7+5sqrt2)(7-5sqrt2)}cdot (sqrt[3]{7+5sqrt2}+sqrt[3]{7-5sqrt2})=\\=14+3sqrt[3]{49-50}(sqrt[3]{7+5sqrt2}+sqrt[3]{7-5sqrt2})=\\=14-3(sqrt[3]{7+5sqrt2}+sqrt[3]{7-5sqrt2})$ 
Переобозначим исходное выражение за t. Это же выражение записано в скобке,
получим
 $t^3=14-3t\t^3+3t-14=0\Esli; t=2,; to; 2^3+3cdot 2-14=8+6-14=0; to 2-koren$ 
Раз 2 - корень кубического многочлена, то многочлен должен делиться нацело  на разность t-2.Получим
 $t^3+3t-14=(t-2)(t^2+2t+7)\t^2+2t+7=0\D=4-4cdot 7=-24<0; to ; net ; resenij; to \t-2=0,; t=2; to \sqrt[3]{7+5sqrt2}+sqrt[3]{7-5sqrt2}=2$