Question

При каком значении « а» можно сократить следующую дробь: Числитель х в квадрате +3х-28. Знаменатель: х в квадрате +ах+16. Дробь нужно сократить. Если значений « а» несколько - найти сумму.Спасибо за помощь.

Answer 1

Разложим числитель

$x^2+3x-28=x^2-4x+7x-28=x(x-4)+7(x-4)=(x-4)(x+7)$

Значит, x = 4 и x = -7 - корни многочлена $x^2+ax+16$ и при этом остаток от деления многочлена на двучлен равен нулю. Подставив x = 4 и x = -7, получим

$4^2+4a+16=0~~~\Rightarrow~~~ 4a=-32~~~\Rightarrow~~~ a_1=-8\\ \\ (-7)^2-7a+16=0~~\Rightarrow~~-7a=-65~~~\Rightarrow~~~ a_2=\frac{65}{7}$

Сумма значений a: $a_1+a_2=-8+\frac{65}{7}=\frac{9}{7}$

Для а = -8: $\dfrac{x^2+3x-28}{x^2-8x+16}=\dfrac{(x-4)(x+7)}{(x-4)^2}=\dfrac{x+7}{x-4}$

Для a = -65/7: $\dfrac{x^2+3x-28}{x^2+\frac{65}{7}x+16}=\dfrac{(x-4)(x+7)}{\frac{1}{7}(7x+16)(x+7)}=\dfrac{7(x-4)}{7x+16}$