Предмет: Математика
Автор: imranmemmedov375
Вопрос задан 2 года назад

Найти сумму корней многочлена х^5-5x^4-9x^3+41x^2+32x-60

Аноним: а мы вот и проверили гипотезу и отклонили))

Аноним: Вы не правы. ПО основной теореме алгебры корней уравнение не более пяти может иметь, т.е. 0, 1,2,3, 4 или пять, получилось пять. А гипотезы, думаю, что именно в этом примере - им не место, поскольку никаких ценных сведений, нужных для решения, они не дали.

igorShap: Я не могу согласиться полностью. Данное уравнение имеет 4 корня, но один из них кратности 2. Вопрос, опять же, в формулировке и наличии уточнения про кратность корней. Любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом их кратности(!!!).

igorShap: В данном случае, т.к. все корни оказались действительными и действительные - подмножество комплексных, получается более частный случай: опять же 4 корня, но 1 кратности 2

Аноним: Я думаю, что корень кратности два и два одинаковых корня - это одно и то же. Так меня учили в школе. Может не верно научили?)

igorShap: Так вот проблема в том, что в школе и университете (даже более того: у разных преподавателей) разные формулировки. В школе( и на ЦТ в том числе) считается, что уравнение (x-1)^2=0 имеет один корень, и сумма корней равна 1. Хотя нам, все равно пояснили, что в университете появится понятие кратности, комплексные корни и т.д.. Но нив коем случае на тестировании это не использовать. В университете в таких случаях мы избегали формулировки про два корня, используя понятие кратности.

igorShap: (да, я еще забыл отметить про то, над каким полем рассматривается уравнение)

Аноним: я Вас услышал. Спасибо. Но остался при своем мнении. Нам не говорили про один корень, а про два одинаковых, потому как эта кратность потом больно бьет при решении неравенства методом интервалов. Поэтому со школы знаю то, о чем написал выше.

Аноним: а про поле.. , думаю, что даже углубленка в 5-9 комплексные числа не рассматривает. Хотя могу ошибаться. Я не в курсе программ школьных.

igorShap: Да, это так, не рассматривают, нам это чисто как факт преподнесли (на повышенном уровне изучения была математика), когда вопрос был при разборе старых заданий ЦТ (тех годов, когда его только вводили): там как раз одно из заданий спорное было про количество корней.

Ответы

Ответ дал: Аноним

Разложим на множители многочлен. Есть и разные способы решить по Безу, схеме Горнера.

$x^5-5x^4-9x^3+41x^2+32x-60=x^5-5x^4-(9x^3-45x^2+4x^2-\\ \\ -20x-12x+60)=x^4(x-5)-(x-5)(9x^2+4x-12)=\\ \\ =(x-5)(x^4-9x^2-4x+12)=(x-5)(x^2(x-3)(x+3)-4(x-3))=\\ \\ =(x-5)(x-3)(x^3+3x^2-4)=(x-5)(x-3)(x^3+2x^2+x^2+2x-\\ \\ -2x-4)=(x-5)(x-3)(x^2(x+2)+x(x+2)-2(x+2))=\\ \\ =(x-5)(x-3)(x+2)(\underbrace{x^2+x-2}_{(x-1)(x+2)})=(x+2)^2(x-1)(x-3)(x-5)$