Question

Дан прямоугольный треугольник авс угол с =90 ас =30 ав=34 св =16 Найти расстояние между центром описанной и вписанной окружности?

Answer 1

Радиус вписанной окружности считается по известной формуле $r=\dfrac{a+b-c}{2}$, а радиус описанной окружности: $R=\dfrac{c}{2}$

Вычислим радиусы описанной и вписанной окружностей.

$r=OD=OE=OF=\dfrac{BC+AC-AB}{2}=\dfrac{16+30-34}{2}=6\\ \\ R=BO_1=AO_1=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{34}{2}=17$

Далее $BF=BD$ как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Следовательно, $BD=BF=BC-CD=16-6=10$, тогда длина отрезка $FO_1=BO_1-BF=17-10=7$

Из прямоугольного треугольника $OFO_1$ найдем расстояние между центром описанной и вписанной окружности

$OO_1=\sqrt{FO_1+OF^2}=\sqrt{7^2+6^2}=\sqrt{85}$

Ответ: $\sqrt{85}$