Question

Доказать, что при любом натуральном n число 10-(4^n)+3n делится на 9.

Answer 1

Докажем методом математической индукции.

1) База индукции: $n=1$

$10-4^1+3\cdot 1=10-4+3=9~~ \vdots ~~9$

2) Предположим, что и для $n=k$ выражение $(10-4^k+3k)~\vdots~9$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$10-4^{k+1}+3(k+1)=10-4\cdot 4^k+3k+3=40-4\cdot 4^k+12k -9k-27=\\ \\ \\ =4\cdot (\underbrace{10-4^k+3k}_{div~9})-9\cdot (k+3)$

Первое слагаемое делится на 9 по второму пункту и второе слагаемое делится на 9, так как имеет сомножитель 9.

То есть, $(10-4^n+3n)~\vdots~9$ при $n \in \mathbb{N}$