Question

Найти уравнение биссектрисы АЕ, в треугольнике АВС с вершинами А (3;-1) B (2;2) C (4;1)

Answer 1

Даны вершины А(3; -1), B(2; 2), C(4; 1).

Вектор АВ: (-1; 3), вектор АС: (1; 2).

Уравнение прямой АВ: (х - 3)/(-1) = (у + 1)/3,

Общее уравнение АВ: 3х + у - 8 = 0.

Уравнение прямой АС: (х - 3)/(1) = (у + 1)2,

Общее уравнение АС: 2х - у - 7 = 0.

Точки на биссектрисе угла А равно удалены от сторон АВ и АС.

Используем формулу расстояния точки от прямой и приравняем расстояние до АВ и АС.

d=|Ax0+By0+C|/√(A²+B²).

Пусть точка на биссектрисе имеет координаты (х; у).

Находим значения √(A²+B²) для прямых АВ и АС.

Для АВ: √(3²+ 1²) = √10, для АС: √(2²+ (-1)²) = √5.

Получаем: $\frac{|3x+y-8|}{\sqrt{10} } =\frac{|2x-y-7|}{\sqrt{5} }.$

Раскроем модули. Для внутреннего угла А подходит уравнение с минусом:  $\frac{3x+y-8}{\sqrt{10} } =-\frac{2x-y-7}{\sqrt{5} }.$

Домножим числитель и знаменатель правой дроби на корень из 2 и приравняем числители.

$3x+y-8=-\sqrt{2} (2x-y-7).$

Отсюда получаем ответ.

Уравнение биссектрисы угла А имеет вид:

х(3 + 2√2) + у(1 - √2) - (8 + 7√2) = 0.

Можно дать в цифровом виде: общее уравнение

Х - 0,071067812 У - 3,071067812 = 0  или с угловым коэффициентом: у = 14,07106781 х - 43,21320344 .