Question

доказать, что число 2n^3-3n^2+n делится на 6 при любом n€N (n>1)​

Answer 1

Докажем методом математической индукции

1) База индукции: n = 2$2\cdot 2^3-3\cdot 2^2+2=6~\vdots~6$

2) Предположим что и для $n=k$ выражение $(2k^3-3k^2+k)~\vdots~6$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$2(k+1)^3-3(k+1)^2+(k+1)=(k+1)(2(k+1)^2-3(k+1)+1)=\\ \\ =(k+1)(2k^2+4k+2-3k-3+1)=(k+1)(2k^2+k)=\\ \\ =2k^3+3k^2+k=(\underbrace{2k^3-3k^2+k}_{div~6})+6k^2$

Первое слагаемое делится по предположению (пункт 2), ну а второе слагаемое делится на 6 тоже, т.к. имеется сомножитель 6. Следовательно, $(2n^3-3n^2+n)~\vdots~6$ для всех натуральных $n>1$

Второй способ.

Разложим данное выражение на множители

$2n^3-3n^2+n=n(2n^2-3n+1)=n(2n^2-2n-n+1)=\\ \\ =n(2n(n-1)-(n-1))=n(n-1)(2n-1)$

Среди двух последовательных чисел обязательно найдется четное и нечетное числа и $(2n-1)$ - нечетное, поэтому $n(n-1)(2n-1)$ делится на 6 при натуральных $n>1$