Question

напишите нормальное уравнение плоскости если А (-1 ,2,-3) В ( 5 ,0,1) С (0,4,2)​

Answer 1

Найдем уравнение плоскости проходящей через три заданные точки.

$\left|\begin{array}{ccc}x-(-1)&y-2&z-(-3)\\ 5-(-1)&0-2&1-(-3)\\ 0-(-1)&4-2&2-(-3)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x+1&y-2&z+3\\ 6&-2&4\\ 1&2&5\end{array}\right|=\\ \\ \\ =(x+1)\left|\begin{array}{ccc}-2&4\\ 2&5\end{array}\right|-(y-2)\left|\begin{array}{ccc}6&4\\ 1&5\end{array}\right|+(z+3)\left|\begin{array}{ccc}6&-2\\ 1&2\end{array}\right|=\\ \\ \\ =(x+1)\cdot (-10-8)-(y-2)\cdot (30-4)+(z+3)\cdot (12+2)=0\\ \\ -18x-26y+14z+76=0~~~|:(-2)\\ \\ 9x+13y-7z-38=0$

Здесь нормальный вектор $\overrightarrow{n}=\{9;13;-7\}$ и поскольку $D=-38$ - отрицательное число, то нормирующий множитель следует взять со знаком плюс. Значение нормирующего множителя равен $\dfrac{1}{\sqrt{9^2+13^2+(-7)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{299}}$

Далее получим нормальное уравнение плоскости, умножив левую и правую части уравнения плоскости на нормирующий множитель.

$\dfrac{9}{\sqrt{299}}x+\dfrac{13}{\sqrt{299}}y-\dfrac{7}{\sqrt{299}}z-\dfrac{38}{\sqrt{299}}=0$

Ответ: $\dfrac{9}{\sqrt{299}}x+\dfrac{13}{\sqrt{299}}y-\dfrac{7}{\sqrt{299}}z-\dfrac{38}{\sqrt{299}}=0$