Question

Доказать методом математической индукции, что:
см. 23 номер

Answer 1

Доказать что число 5 * 2^(3n-2) + 3^(3n-1) делится на 19

Доказательство:

1) База индукции: n = 1

$5\cdot 2^{3\cdot 1-2}+3^{3\cdot 1-1}=10+9=19~\vdots~19$

2) Предположим что и при $n=k$ выражение $\left(5\cdot 2^{3k-2}+3^{3k-1}\right)~\vdots~19$

3) Индукционный переход: n = k+1

$5\cdot2^{3(k+1)-2}+3^{3(k+1)-1}=5\cdot 2^{3k+1}+3^{3k+2}=5\cdot 8\cdot 2^{3k-2}+27\cdot 3^{3k-1}=\\ \\ =40\cdot 2^{3k-2}+27\cdot 3^{3k-1}=40\cdot 2^{3k-2}+8\cdot 3^{3k-1}+19\cdot 3^{3k-1}=\\ \\ =8\cdot (\underbrace{5\cdot 2^{3k-2}+3^{3k-1}}_{div~~19})+19\cdot 3^{3k-1}$

Первое слагаемое делится на 19 по предположению (второй пункт), а второе слагаемое очевидно что делится на 19, так как имеет сомножитель 19.