Question

y''-6y'+8y=0 при y(0)=2,y'(0)=0

Answer 1

$y''-6y'+8y=0$ - однородное ДУ второго порядка.

Составим характеристическое уравнение: $k^2-6k+8=0\to (k-4)(k-2)=0\to k_1=2,\:k_2=4$

Тогда общее решение имеет вид $y=C_1e^{2x}+C_2e^{4x}$

$y(0)=2\to 2=C_1e^{0}+C_2e^{0}\to C_1+C_2=2\to C_1=2-C_2 \to y=(2-C_2 )e^{2x}+C_2e^{4x}\to y'=2(2-C_2 )e^{2x}+4C_2e^{4x}\\ y'(0)=0\to 0=2(2-C_2 )e^{0}+4C_2e^{0}\to 0=2(2-C_2 )+4C_2 \to 0=4+2C_2\to C_2=-2\to C_1=4\\ y=4e^{2x}-2e^{4x}$