Question

Докажите неравенство

Answer 1

Доказать неравенство: (a+6)(b+3)(c+2) ≥ 48√(abc), если a, b, c ≥ 0

Доказательство:

Для неотрицательных a,b,c применим неравенство Коши

$a+6\geq2\sqrt{6a}\\ b+3\geq 2\sqrt{3b}\\ c+2\geq 2\sqrt{2c}$

Перемножив все эти три неравенства, мы получаем

$(a+6)(b+3)(c+2)\geq 2\sqrt{6a}\cdot 2\sqrt{3b}\cdot 2\sqrt{2c}=8\cdot 6\sqrt{abc}=48\sqrt{abc}$

Доказано.