Question

y"=3sqrt(y+1) помогите решить, условие - Найти частное решение диффиренциального уравнения, допускающего понижение порядка

Answer 1

Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной  у. Вводим замену $y'=p(y)$ тогда $y''=pp'$, получаем

$pp'=3\sqrt{y+1}$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \int pdp=3\int\sqrt{y+1}dy\\ \\ \dfrac{p^2}{2}=3\cdot \dfrac{2}{3}(y+1)^{3/2}+C_1~~~~\Rightarrow~~~ p=\pm\sqrt{4(y+1)^{3/2}+C_1}$

Выполним обратную замену

$y'=\pm\sqrt{4(y+1)^{3/2}+C_1}\\ \\ \displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{4(y+1)^{3/2}+C_1}}=\pm\int dx\\ \\ \\ \int \dfrac{dy}{\sqrt{4(y+1)^{3/2}+C_1}}=\pm\dfrac{x^2}{2}+C_2$

Последний интеграл не так уж и просто вычислить...