Question

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократить дробь 9x²-6x+1/6x²+x-1

Answer 1

Разложим на множители числитель с помощью решения уравнения через дискриминант (на самом деле там можно выделить полный квадрат, но через дискриминант надёжнее):

$9x^2-6x+1=0\\D=(-6)^2-4 \cdot 9=36-36=0\\x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\\9x^2-6x+1=9\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2=3^2\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2=(3x-1)^2$

Теперь разложим на множители знаменатель:

$6x^2+x-1=0\\D=1^2-4 \cdot 6 \cdot (-1)=1+24=25\\\sqrt{D}=5\\x_1=\dfrac{-1+5}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\\x_2=\dfrac{-1-5}{12}=\dfrac{-6}{12}=-\dfrac{1}{2}\\6x^2+x-1=6\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=3 \left(x-\dfrac{1}{3}\right) \cdot 2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=\\=(3x-1)(2x+1)$

Тогда:

$\dfrac{9x^2-6x+1}{6x^2+x-1}=\dfrac{(3x-1)^2}{(3x-1)(2x+1)}=\dfrac{3x-1}{2x+1}.$

Ответ: $\dfrac{3x-1}{2x+1}$ при $x \neq \dfrac{1}{3}$.