Question

Здравствуйте, участвую в конкурсе по математике и не могу решить задачу 1) Дано уравнение а*b + a*b = вектор ab. Условие : а и b имеют одинаковое количество цифер и они положительные. Вектор аb

показывает число, если написать a и b друг за другом. Например: вектор аb = 2019, если а = 20, b=19. Нужно найти возможные числа для a и b
​

Answer 1

Пусть кол-во цифр а и b равно $n$

Тогда: $a*b + a*b=\overline{ab}\\ 2*a*b=a*10^n+b\\ 2*a*(b-5*10^{n-1})=b\\ 2*(b-5*10^{n-1})=\dfrac{b}{a}\\ \\b\in N,5*10^{n-1} \in N => \dfrac{b}{a}=2k,k\in N,\\ \dfrac{10...0}{99...9}\leq 2k\leq \dfrac{99...9}{10...0}<10 =>1\leq k\leq 4 \\ b-5*10^{n-1}=k\\ b=5*10^{n-1}+k$

1) $k=1\\ 2a=5*10^{n-1}+1\\ 1)n=1=>a=3=>b=6\\ 2)n>1=>\varnothing$

т.к. в случае 2. получаем равенство нечетного и четного чисел, что неверно.

2) $k=2\\ 4a=5*10^{n-1}+2\\ 2a-1=25*10^{n-2}\\ 1)n=2=>2a-1=25=>a=13=>b=4*13=52\\2)n>2=>\varnothing$

т.к. в случае 2. получаем равенство нечетного и четного чисел, что неверно.

3) $k=3\\ 6a=5*10^{n-1}+3\\ 3*(2a-1)=5*10^{n-1}=>5*10^{n-1}\vdots 3$,

что неверно.

4) $k=4\\ 8a=5*10^{n-1}+4\\ 4a=25*10^{n-2}+2\\ 2a=125*10^{n-3}+1\\ 1)n=3=>a=63=>n=2=>\varnothing\\2)n>3=>\varnothing$

т.к. в случае 2. получаем равенство нечетного и четного чисел, что неверно.

Ответ: (3; 6), (13, 52)