Question

Доказать методом математической индукции что выражение 3^(4n-1)-25n^2-17 кратно 5

Answer 1

1) База индукции: n = 1

$3^{4\cdot 1-1}-25\cdot 1^2-17=-15~\vdots~5$ - выполнено

2) Предположим что и для $n=k$ выражение $\left(3^{4k-1}-25k^2-17\right)~\vdots~5$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$3^{4(k+1)-1}-25(k+1)^2-17=3^{4k+3}-25(k^2+2k+1)-17=\\ \\ =81\cdot 3^{4k-1}-25k^2-50k-25-17=81\cdot 3^{4k-1}-81\cdot 25k^2+80\cdot 25k^2-\\ \\ -50k-81\cdot 17+80\cdot 17=81\left(\underbrace{3^{4k-1}-25k^2-17}_{div~ 5}\right)+80\cdot 25k^2-50k+80\cdot 17$

Первое слагаемое делится на 5 по предположению (пункт 2). Остальные слагаемые тоже делятся на 5, поскольку их коэффициенты делятся на 5. Значит, исходное выражение кратно 5 для всех натуральных n.