Question

Помогите решить уравнение

$\sqrt{x-3}+\sqrt{x} = 43-6x-x^{2}$

Answer 1

Область значений функции $f(x)=\sqrt{x-3}+\sqrt{x}$ это $E(f)=[\sqrt{3};+\infty)$, поскольку функция является возрастающей, как сумма двух возрастающих функций и минимум функции будет в точке x = 3.

$y=43-6x-x^2$ - парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы

$m=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2}=-3$

$y=43+6\cdot 3-(-3)^2=52$

Поскольку на промежутке x ∈ [-3;+∞) функция $g(x)$ убывает и на промежутке x ∈ [√3;+∞) функция $f(x)$ возрастает. Значит, уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня. х = 4 - корень уравнения

Ответ: х = 4.