Question

Решить предел , без правила Лопиталя !!!

Answer 1

Здесь будут использоваться замечательные пределы

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{a^x-1}{x}=\ln a;~~\lim_{x \to 0}\frac{{\rm tg}\, x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{{\rm arctg}\, x}{x}=1$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{10^{2x}-7^{-x}}{2{\rm tg}\, x-{\rm arctg}\, x}=\lim_{x \to 0}\frac{100^x-\dfrac{1}{7^x}}{2{\rm tg}\, x-{\rm arctg}\, x}=\lim_{x \to 0}\frac{\dfrac{1}{7^x}\left(700^x-1\right)}{2{\rm tg}\, x-{\rm arctg}\, x}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to 0}\frac{1\cdot x \cdot (700^x-1)}{x\left(2{\rm tg}\, x-{\rm arctg}\, x\right)}=\lim_{x \to 0}\frac{x\ln700}{2{\rm tg}\, x-{\rm arctg}\, x}=\\ \\ \\ =\ln 700\lim_{x \to 0}\frac{1}{\dfrac{2{\rm tg}\, x}{x}-\dfrac{{\rm arctg}\, x}{x}}=\ln 700\cdot\frac{1}{2\cdot 1-1}=\ln700$

Ответ:  ln700.