Question

Помогите решить уравнение: $4^{cos2x} -\frac{1}{2} 16^{sin^{2}x}=1$

Answer 1

$4^{\cos 2x}-\frac{1}{2}16^{\sin^2x}=1\\ \\ 4^{\cos 2x}-\frac{1}{2}\cdot 4^{2\sin^2x}=1\\ \\ 4^{\cos 2x}-\frac{1}{2}\cdot 4^{1-\cos 2x}=1~~~~ \bigg|\cdot 4^{\cos 2x}\\ \\ 4^{2\cos 2x}-4^{\cos 2x}-2=0$

Пусть $4^{\cos 2x}=t$ при этом должно выполнено условие $t>0$, получим:

$t^2-t-2=0$

По теореме Виета

$t_1=2$

$t_2=-1$ — не удовлетворяет условию;

Возвращаемся к обратной замене:

$4^{\cos2x}=2\\ 2^{2\cos 2x}=2\\ \\ 2\cos 2x=1\\ \\ \cos 2x=0.5\\ \\ 2x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$