Question

В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и АС взяты точки С1, А1, В1 соответственно так, что   СВ1: СА = 6 : 11, СА1: А1В = 1 : 2.   АА1 ∩ ВВ1 = О. Площадь треугольника АА1С равна 198 кв. см.
 а) Найдите   АА1, если АО = 15 см;
б)  Найдите площадь треугольника АОВ1;
в)  Найдите  площадь треугольника АВС.
г)  Найдите  площадь треугольника ВОС1.
Вроде, решать надо по теореме Менелая.​

Answer 1

Ответ:

а) АА1 = 27 см. б) Saoв1 = 50 см².  в) Sabc = 594 cм².

г) Sвoc1 = 155 5/17 ≈ 155,3 cм².

Объяснение:

Дано:  СВ1: СА = 6 : 11, СА1: А1В = 1 : 2.  =>

В1А/АС = 5/11. BC/CA1 = 3/1. АС/АВ1 = 11/5. АB1/СВ1 = 5/6.

а)  По Менелаю в треугольнике САА1 и секущей В1ВВ:

(СВ1/В1А)·(АО/ОА1)·(А1В/ВС) = 1. Или

(6/5)·(15/ОА1)·(2/3) = 1. =>ОА1 = 12.  АА1 = АО+ОА1.

Тогда АА1 = 15+12 = 27 см.

в) Треугольники АВС и АА1С имеют общую высоту АН, поэтому их площади относятся как Sabc/Saa1c = BC/CA1 = 3/1.

Sabc = 3*Saa1c = 594 cм².

б) По Менелаю для треугольника СВВ1 и секущей АА1 имеем:

(СА1/А1В)*(ВО/ОВ1)*(В1А/АС) = 1. Подставим известные значения:

(1/2)*(ВО/ОВ1)*(5/11) = 1  =>  ВО/ОВ1 = 22/5.

Треугольники АВС и АВВ1 имеют общую высоту ВР, поэтому их площади относятся как Sabc/Saвв1 = АС/АВ1 = 11/5.

Sabb1 = (5/11)*Sabc = (5/11)*594 = 270cм².  

Треугольники АВB1 и АOВ1 имеют общую высоту AL, поэтому их площади относятся как Sabb1/Saoв1 = BB1/OВ1 = 27/5. Тогда

Saoв1 = Sabb1*(5/27) = 270*5/27 = 50 см².

г) Sсbb1 = (6/11)·Sabc = (6/11)·594 = 324 cм².

Sabb1 = (5/11)·594 = 270 cм².

Sabo = Sabb1 - Saob1 = 270-50 = 220 cм².

По Менелаю в треугольнике ABВ1 и секущей C1C:

(AC1/C1В)·(ВО/ОВ1)·(В1C/CА) = 1. Или

(AC1/C1В)·(22/5)·(6/11) = 1. => AC1/C1В = 5/12.  

Треугольники AOB и BOС1 имеют общую высоту OK, поэтому их площади относятся как Sboc1/Sabo = BC1/AВ = 12/17. Тогда  

Sвoc1 = Saob·(12/17) = 220(12/17) = 155 5/17 ≈ 155,3 cм².

Или так: BB1/OВ = 27/22. (Найдено в п. б).

Scbo =Scbb1·BO/BB1 = 324·22/27 =264 cм².

Треугольники СВO и BOC1 имеют общую высоту BM, поэтому их площади относятся как Sсbo/Sboc1 = CO/OC1. Sboc1 = Sсbo·OC1/CO.

Найдем отношение OC1/CO.

По Менелаю в треугольнике ABВ1 и секущей C1C:

(AC1/C1В)·(ВО/ОВ1)·(В1C/CА) = 1. Или

(AC1/C1В)·(22/5)·(6/11) = 1. => AC1/C1В = 5/12.  

По Менелаю в треугольнике AСС1 и секущей В1В:

(АВ1/В1С)·(СО/ОС1)·(С1В/ВА) = 1. Или

(5/6)·(СО/ОС1)·(12/17) = 1. => СО/ОС1 = 17/10. Тогда

Sсbo/Sboc1 = 17/10. =>

Sboc1 = Sсbo·10/17 = 264·10/17 = 155 5/17 ≈ 155,3 cм².