Question

Найдите частное q(x) и остаток r(x) от деления многочлена P(x)=x^3-5x^2-3x+7 на двучлен Q(x)=x-4. Выделите у рациональной дроби P(x)/Q(x) целую и дробные части: P(x)/Q(x) = q(x) + r(x)/Q(x)

Answer 1

x = 4 - корень многочлена P(x). Подставив корень в многочлен P(x), мы получим

$P(2)=4^3-5\cdot 4^2-3\cdot 4+7=-21=r(x)$ - остаток от деления многочлена P(x) на двучлен Q(x), следовательно

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{x^3-5x^2-3x+7+21-21}{x-4}=\dfrac{x^3-5x^2-3x+28}{x-4}-\dfrac{21}{x-4}=\\ \\ \\ =\dfrac{(x-4)(x^2-x-7)}{x-4}-\dfrac{21}{x-4}=x^2-x-7-\dfrac{21}{x-4}$

где $q(x)=x^2-x-7$ и $r(x)=-21$