Question

числа x и y положительные, при чем x+y=5. Какое найменшее значение может принимать выражение
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
​

Answer 1

x + y = 5  отсюда y = 5 - x.

Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{5-x}$

Производная функции: $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(5-x)^2}$ и приравняем ее к нулю.

$-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(5-x)^2}=0~~~\bigg|\cdot x^2(5-x)^2\ne0\\ \\ x^2-(5-x)^2=0\\ \\ (x-5+x)(x+5-x)=0\\ 5(2x-5)=0\\ x=2.5$

(0)____-_____(2.5)____+___(5)___+___

В точке x = 2.5 производная функции меняется знак с (-) на (+), следовательно, x = 2.5 - относительный минимум.

y = 5 - 2.5 = 2.5

Ответ: при $x = y = 2.5$ выражение $\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$ принимает наименьшее значение.

Второй способ. (без производной)

Для x,y> 0 применим неравенство Коши

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\\\\ \dfrac{x+y}{xy}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\\ \\ \dfrac{5}{xy}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\\ \\ \sqrt{xy}\leq\dfrac{5}{2}$

При этом равенство достигает наименьшего значения при $x=y=\dfrac{5}{2}$