Question

Решить в целых числах 5x^2-8xy-4y^2=17

Answer 1

Разложим левую часть уравнения на множители

$5x^2-8xy-4y^2=5x^2-10xy+2xy-4y^2=5x(x-2y)+2y(x-2y)=\\ \\ =(x-2y)(5x+2y)$

$(x-2y)(5x+2y)=17$

Поскольку 17 - простое число, то данное уравнение можно решить в целых числах, когда

$\displaystyle 1)~~\left \{ {{x-2y=1} \atop {5x+2y=17}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=3} \atop {y=1}} \right.\\ \\ \\ 2)~~\left \{ {{x-2y=-1} \atop {5x+2y=-17}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=-3} \atop {y=-1}} \right.\\ \\\\ 3)~~\left \{ {{x-2y=17} \atop {5x+2y=1}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=3} \atop {y=-7}} \right.\\ \\ \\ 4)~~\left \{ {{x-2y=-17} \atop {5x+2y=-1}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=-3} \atop {y=7}} \right.$

Ответ: (3;1), (-3;-1), (3;-7), (-3;7).