Question

Найти сумму ряда
$qsina+q^2sin2a+...+q^nsinna+...$

Answer 1

$q\sin \alpha+q^2\sin2\alpha+...+q^n\sin n\alpha+...$                    

$q\cos \alpha+q^2\cos2\alpha+...+q^n\cos n\alpha+...$,  |q|<1

Пусть $b_n$ и $a_n$ - последовательности частичных сумм первого и второго, соответственного и b , a - их суммы.

По формуле Эйлера $e^{i\phi}=\cos \phi +i\sin \phi$ , мы получим

$b_n+ia_n=qe^{i\alpha}+q^2e^{2i\alpha}+...+q^ne^{ni\alpha}+...=\dfrac{qe^{i\alpha}}{1-qe^{i\alpha}}~~\boxed{=}$

Здесь в этом случае бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Преобразовывая в тригонометрическую форму по формуле Эйлера, мы получим

$\boxed{=}~q\left(\dfrac{\cos\alpha -q}{1-2q\cos\alpha+q^2}+i\dfrac{q\sin\alpha}{1-2q\cos\alpha+q^2}\right)$

Откуда искомая сумма ряда $b=q\cdot\dfrac{\cos\alpha -q}{1-2q\cos\alpha+q^2}$