Question

СРОЧНО! упростите выражение
$cos^{3} \alpha + sin^{3} \alpha + cos^{3}\alpha - sin^{3\alpha } \\ sin\alpha cos\alpha$
в общем это дробь
sinL это под низом первой дроби там где с плюсом а cosL Это под низом где уже с минусом

Answer 1

Ответ:

$\frac{cos\alpha}{sin\alpha}- \frac{sin\alpha}{cos\alpha} +1$

или

$ctg\alpha - tg\alpha + 1$

Пошаговое объяснение:

$\frac{cos^{3}\alpha+sin^{3}\alpha }{sin\alpha}$+$\frac{cos^{3}\alpha-sin^{3}\alpha }{cos\alpha}$

Воспользуемся правилом:

$x^{3} +y^{3}=(x+y)*(x^{2}-xy+y^{2})$

$x^{3} -y^{3}=(x-y)*(x^{2}+xy+y^{2})$

Сделаем замену  $x=sin\alpha$  и $y=cos\alpha$

Причем $x^{2}+y^{2}=1$ т.к. $sin^{2}+cos^{2}=1$

Получаем:

$\frac{(y^{3}+x^{3})}{x} + \frac{(y^{3}-x^{3})}{y}$=

= $\frac{(y+x)*(y^{2}-xy+x^{2})}{x} + \frac{(y-x)*(y^{2}+xy+x^{2})}{y}$ =

= $\frac{(y+x)*(1-xy)}{x} + \frac{(y-x)*(1+xy)}{y}$ =

= $\frac{y+x-x^{2}*y-y^{2}*x}{x} + \frac{y-x+x*y^{2}-x^{2}*y}{y}$ =

= $\frac{y}{x}+1-xy-y^{2} + 1 - \frac{x}{y} +xy-x^2$ =

= $\frac{y}{x}- \frac{x}{y} +1+(1-(y^{2}+x^2))$ =

= $\frac{y}{x}- \frac{x}{y} +1$

Обратная замена:

$\frac{cos\alpha}{sin\alpha}- \frac{sin\alpha}{cos\alpha} +1$