Question

Найти все целочисленные решения уравнения:

5х+3у=11 с объяснением , пожалуйста)

Answer 1

Ответ: (1+3k; 2-5k) k€Z

или (1-3m; 2+5m) m€Z.

Объяснение:

выразим, например, игрек...

у = (11-5x) / 3 = ((12-6х)+(х-1)) / 3

y = 4-2x + (x-1)/3

первые два слагаемых-целые числа, если х-целое число.

числитель (х-1) должен нацело делиться на 3, т.е. икс должен быть равен {...-8;-5;-2;1;4;7;10...}

х = 1+3k; k€Z и тогда

у = 4-2(1+3k) + (1+3k-1)/3 = 2-6k+k

y = 2-5k

или выразим икс...

х = (11-3у) / 5 = ((10-5у)+(2у+1)) / 5

x = 2-y + (2y+1)/5

числитель должен нацело делиться на 5 и должен быть >= 5 по модулю:

[ 2у+1 >= 5 и [ 2у+1 <= -5

[ у >= 2 и [ у <= -3

т.е. игрек должен быть равен {...-3;2;7;12...}

y = 2+5m; m€Z и тогда

х = 2-(2+5m) + (4+10m+1)/5

x = -5m+1+2m = 1-3m

Answer 2

$5x+3y=11\; \; (\star )$

Подберём такие  $x_0$  и  $y_0$  , чтобы выполнялось равенство:   $5x_0+3y_0=11$ .

$x_0=1\; ,\; \; y_0=2\; \; \; \Rightarrow \; \; \; 5\cdot 1+3\cdot 2=11\; \; (\star \star )$

Вычтем из уравнения $(\star )$  уравнение  $(\star \star )$ ;

$5x+3y-(5\cdot 1+3\cdot 2)=11-11\\\\5\cdot (x-1)+3\cdot (y-2)=0\; \; \Rightarrow \quad x-1=-\frac{3(y-2)}{5}\; \; \; \Rightarrow$

Так как (х-1) должно быть целым, то  (у-2) должно делиться на 5, а значит (у-2) можно представить в виде

$y-2=5k\; \; \Rightarrow \; \; \; \underline {y=5k+2\; ,\; k\in Z}\\\\x-1=-\frac{3\cdot 5k}{5}\; \; \Rightarrow \; \; \; x-1=-3k\; \; ,\; \; \underline {x=-3k+1\; ,\; k\in Z}\\\\Otvet:\; \; \left \{ {{x=-3k+1} \atop {y=5k+2}} \right.\; ,\; k\in Z\; .$