Question

В прямоугольном треугольнике ABC угол B прямой.На катете AB выбрана точка m так,что AM=BC,а на катете BC выбрана точка N такая что CN=MB Найдите острый угол между прямыми AN и CM

Answer 1

Построим прямоугольный треугольник и пусть на координатной плоскости, вершины треугольника имеют координаты:

A(0;6), B(0;0), C(4;0).

По условию, AM = BC, CN = MB, тогда N(2;0), M(0;2). Найдем уравнения прямой CM и AN

$CM:~\dfrac{x-4}{0-4}=\dfrac{y-0}{2-0}~~~\Rightarrow~~~ y=-\dfrac{x}{2}+2~~~\Rightarrow~~~ k_1=-\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ AN:~~~\dfrac{x-0}{2-0}=\dfrac{y-6}{0-6}~~~\Rightarrow~~~ y=-3x+6~~~\Rightarrow~~~ k_2=-3$

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то угол между ними можно найти, используя формулу:

${\rm tg}\, \alpha =\bigg|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\bigg|=\left|\dfrac{-\dfrac{1}{2}+3}{1+\dfrac{1}{2}\cdot 3}\right|=1\\ \\ \\\alpha=\angle NDC={\rm arctg}\, 1=45^\circ$

Ответ: 45°