Question

Составить уравнение эллипса, проходящего через точку М($\sqrt{15}$; -1) и расстояние между фокусами которого равно 8. Построить кривую второго порядка

Answer 1

Уравнение эллипса (x²/a²) + (y²/b²) = 1.

Параметр с = 8/2 = 4. С другой стороны c² = a² - b².

Выразим b² =  a² - c² = a² - 16.

Подставим координаты точки М в уравнение эллипса с учётом a и b.

(13/a²) + (1/a² - 16) = 1.  Приведём к общему знаменателю.

13a² - 208 + a² = a^4 - 16a². Получили биквадратное уравнение:

a^4 - 30a² + 208 = 0.   Замена: a² = t.

t² - 30t + 208 = 0.    D = 900 - 832 = 68.

t1 = 15 + √17,    t2 = 15 - √17   этот корень меньше 16 - не принимаем (из условия b² = a² - 16).

Ответ: уравнение эллипса (x²(15 + √17)) + (y²/(√17 - 1)).