Question

При каком значении параметра a наибольшее значение функции
$y = ax {}^{2} + x(a - 3) + 1$
равно 4.Можно пожалуйста с объяснением​

Answer 1

.........................

Answer 2

Ответ:

График Вашей функции - парабола, т.к. это многочлен второго порядка (максимальная степень х - вторая). Парабола устремляется в бесконечность, если ветви направлены вверх, и в минус бесконечность, если ветви направлены вниз. Чтобы наибольшее значение было равно обыкновенному числу, ветви параболы должны быть направлены вниз, следовательно, уже знаем, что а - отрицательное число (от знака множителя перед х в квадрате зависит направление ветвей параболы).

Далее непосредственно к нахождению максимума. Для нахождения максимума или минимума функции нужно её первую производную приравнять к нулю.

Возьмём производную от Вашей функции:

$y = ax {}^{2} + x(a - 3) + 1 \\ \frac{dy}{dx} = 2ax + a - 3 \\ 2ax + a - 3 = 0 \\ 2ax = 3 - a \\ x = \frac{3 - a}{2a}$

Подставим полученное значение для х в исходную функцию и приравняем к 4, т.к. максимальное значение у должно быть равно 4:

$a \ { (\frac{3 - a}{2a} })^{2} + \frac{3 - a}{2a} (a - 3) + 1 = 4 \\ a \ { \frac{(3 - a {)}^{2} }{4 {a}^{2} } } - \frac{ {(3 - a)}^{2} }{2a} = 3 \\ \frac{(a - 2a)(3 - a {)}^{2} }{4 {a}^{2} } = 3 \\ - a(3 - a {)}^{2} = 12 {a}^{2} \\ (3 - a {)}^{2} = - 12a \\ 9 - 6a + {a}^{2} = - 12a \\ {a}^{2} + 6a + 9 = 0 \\ d = 36 - 4 \times 9 = 0 \\ a = \frac{ - 6}{2} = - 3$

Проверяем:

$2ax + a - 3 = 0 \\ - 6x - 3 - 3 = 0 \\ - 6x = 6 \\ x = - 1$

Подставляем в исходную функцию:

$y = a {x}^{2} + x(a - 3) + 1 \\ y = - 3 ( - 1 {)}^{2} - 1( - 3 - 3) + 1 \\ y = - 3 + 6 + 1 = - 3 + 7 = 4$

Всё правильно =)

Ответ: а = - 3.