Question

Пожалуйста, очень нужно ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для доказательства данного утверждения будем пользоваться основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x+\cos^2 x = 1$

$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3 \sin^4 x\, \cos^2 x - 3 \sin^2 x \, \cos^4 x =\\=1-3\sin^2 x\, \cos^2 x(\sin^2 x + \cos^2 x)=1 - 3(1 - \cos^2 x)\cos^2 x$

Найдем наибольшее значение $(1-\cos^2 x)\cos^2 x$:

Для удобства сделаем замену:

$t = \cos^2 x$

Тогда $y=t-t^2$ - парабола. Имеет максимум при  $t = {-1 \over -2} = 0.5$

$\cos^2 x = 0.5\\\cos x = {\sqrt 2 \over 2}$ - принадлежит области значений функции cos

Тогда

$(1-\cos^2 x)\cos^2 x \leq (1-0.5) * 0.5 = 0.25\\\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3(1 - \cos^2 x)\cos^2 x \geq 1-3 * 0.25 = 0.25$