Question

Напишите решение к неравенствам

Answer 1

№1

$\frac{(x+3)(x-3)^2(x-8)}{(x+2)^3(x-5)} \leq 0$

находим корни числителя и знаменателя:

$x_1=-3;\ x_2=3;\ x_3=8;\ x_4=-2;\ x_5=5$

(x-3)^2 - всегда принимает неотрицательные значения. Значит при переходе через точку 3 неравенство знак не поменяет.

Используем метод интервалов:

точки (-2) и 5 - выколотые.

   +            -            +          +            -              +

-------[-3]--------(-2)-------[3]--------(5)--------[8]---------->x

$x\in [-3;-2)\cup (5;8] \cup \{ 3 \}$

Ответ: $x\in [-3;-2)\cup (5;8] \cup \{ 3 \}$

№2

$\frac{2x+12}{x-4} -1\leq \frac{5}{x+1}\\\frac{2x+12-x+4}{x-4} \leq \frac{5}{x+1}\\\frac{x+16}{x-4}- \frac{5}{x+1} \leq 0\\\frac{(x+1)(x+16)-5(x-4)}{(x-4)(x+1)}  \leq 0\\\frac{x^2+12x+36}{(x-4)(x+1)} \leq 0\\\frac{(x+6)^2}{(x-4)(x+1)} \leq 0\\x_1=-6;\ x_2=4;\ x_3=-1$

точки (-1) и 4 - выколотые

 +            +         -          +

------[-6]------(-1)------(4)------->x

$x\in (-1;4)\cup \{-6\}$

Ответ: $x\in (-1;4)\cup \{-6\}$

№3

замена:

$y=x^2$

получим:

$y^2-5y+6\geq 0\\D=25-24=1\\y_1=\frac{5+1}{2}=3\\y_2=\frac{5-1}{2}=2\\y^2-5y+6=(y-2)(y-3)$

обратная замена:

$(x^2-2)(x^2-3)\geq 0\\(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\geq 0\\x_{1,2}=\pm \sqrt{2};\ x_{3,4}=\pm \sqrt{3}$

  +              -                +              -               +

-------[-√3]-------[-√2]--------[√2]-------[√3]-------->x

$x\in (-\infty;-\sqrt{3}]\cup [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\cup [\sqrt{3};+\infty)$

Ответ: $x\in (-\infty;-\sqrt{3}]\cup [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\cup [\sqrt{3};+\infty)$