Question

Стрелок при каждом выстреле независимо от предыдущих попыток поражает цель с вероятностью 1/3. Сделано 10 выстрелов. Найдите вероятность того, что стрелок попал не менее двух раз, если известно, что хотя бы раз он попал

Answer 1

Вероятность промаха $q=1-p=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

Пусть событие А - стрелок попал не менее двух раз, а событие В - попал хотя бы раз.

Вероятность того, что стрелок ни разу не попадет в мишень равна

$p_1=q^{10}=\dfrac{2^{10}}{3^{10}}$

Вероятность того, что стрелок попадет только один раз, равна

$p_2=C^1_{10}pq^{9}=\dfrac{10}{3}\cdot \dfrac{2^9}{3^9}$

Тогда вероятность того, что стрелок попадет не менее двух раз, равна

$P(A)=1-\Big(p_1+p_2\Big)=1-\Big(\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{2^9}{3^9}+\dfrac{2^{10}}{3^{10}}\Big)$

Вероятность того, что стрелок попадет хотя бы раз, равна

$P(B)=1-p_1=1-\dfrac{2^{10}}{3^{10}}$

Тогда по формуле Байеса, искомая вероятность:

$P(A|B)=\dfrac{P(B|A)*P(A)}{P(B)}=\dfrac{\left(1-\Big(\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{2^9}{3^9}+\dfrac{2^{10}}{3^{10}}\Big)\right)\cdot 1}{1-\dfrac{2^{10}}{3^{10}}}\approx0.912$

Ответ: 0,912.