Question

100 баллов! Нужна помощь людей, решающих интегралы.. Решите любой номер, буду благодарен

Answer 1

$1)\; \; y=\frac{3\, cosx^2}{2\, cos^2x}\\\\y'=\frac{3\, (-sinx^2)\cdot 2x\; \cdot \; 2cos^2x-3cosx^2\; \cdot \; 4\, cosx\cdot (-sinx)}{4cos^4x}\\\\b)\; \; y=3^{3tgx}\\\\y'=3^{3tgx}\cdot ln3\cdot \frac{3}{cos^2x}$

$4)\; \; \int \frac{sinx\, dx}{cos^2x+1}=\Big [\; t=cosx\; ,\; dt=-sinx\, dx\; \Big ]=-\int \frac{dt}{t^2+1}=-arctgt+C=\\\\=-arctg(cosx)+C\; ;\\\\\\\int 3x\cdot ln\frac{x}{2}\, dx=\Big [\; u=ln\frac{x}{2}\; ,\; du= \frac{2}{x}\cdot \frac{1}{2}\, dx=\frac{1}{x}\,dx\; ;\; dv=3x\, dx\; ,\; v=\frac{3x^2}{2}\, \Big ]=\\\\=uv-\int v\, du=\frac{3x^2}{2}\cdot ln\frac{x}{2}-\int \frac{3x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\, dx=\frac{3x^2}{2}\cdot ln\frac{x}{2}-\frac{3}{2}\int x\, dx=\\\\=\frac{3x^2}{2}\cdot ln\frac{x}{2}-\frac{3x^2}{4}+C$

$5)\; \; y'=5\sqrt{y}\cdot lnx\; \; ,\; \; y(e)=1\\\\\frac{dy}{dx}=5\sqrt{y}\cdot lnx\\\\\int \frac{dy}{\sqrt{y}}=5\int lnx\, dx\\\\\Big [\; \int lnx\, dx=[u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=dx\; ,\; v=x]=uv-\int v\, du=\\\\=x\cdot lnx-\int dx=x\cdot lnx-x+C\; \Big ]\\\\2\sqrt{y}=5x\cdot (lnx-1+C)\\\\y(e)=1:\; \; 2=5e\cdot (1-1+C)\; \; ,\; \; 2=5e\cdot C\; \; ,\; \; C=\frac{2}{5e}\\\\Otvet:\; \; 2\sqrt{y}=5x\cdot (lnx-1+\frac{2}{5e})\; .$

Answer 2

Ответ:  во вложении объяснение: