Ответы
В параллелограмме АВСD биссектрисы углов А и D пересекаются в точке Е, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма АВСD, если известно, что АЕ=2√3 и DE=2.
Ответ: 12 (ед. длины)
Объяснение: В параллелограмме АВСD АВ и СD параллельны, АD - секущая. ⇒ сумма углов параллелограмма. прилежащих одной стороне, равна 180° . Отрезки АЕ и DE - биссектрисы. Поэтому сумма половин углов ЕАD и ЕDA равна 180°:2=90°. Из суммы углов треугольника угол АЕD=90°
По т.Пифагора AD=√(AE²+DE²)=√(12+4)=4
Угол ВЕА=ЕАD (накрестлежащие). Но, т.к. АЕ - биссектриса угла А, угол ВАЕ=углу ЕАD, и , следовательно, углу АЕВ. Углы при основании АЕ треугольника АВЕ равны. ⇒∆ АВЕ равнобедренный. АВ=ВЕ.
Аналогично ∆ CED - равнобедренный. СD=CE.
Противоположные стороны параллелограмма равны ⇒ АВ=СД=ВЕ=ЕС. Из равенства ВС=АD=4 следует ВЕ=СЕ=4:2=2.
Р(АВСD)= AB+BC+CD+DA=2+4+2+4=12 (ед. длины)
