Question

Двое рабочих за два часа вырыли траншею. При этом первый рабочий устал и начал работать втрое медленней, а второй рабочий раззадорился
и начал работать втрое быстрее, так что на прокладку второй такой траншеи у
них ушёл один час. Во сколько раз производительность второго превосходила
производительность первого изначально?

Answer 1

Двое рабочих за два часа вырыли траншею. При этом первый рабочий устал и начал работать втрое медленней, а второй рабочий раззадорился  и начал работать втрое быстрее, так что на прокладку второй такой траншеи у  них ушёл один час. Во сколько раз производительность второго превосходила  производительность первого изначально?

Пошаговое объяснение:

I способ

Первая траншея .

-------производительность в час  -- время.

1 рабочий      х                                            2ч

2 рабочий     у                                            2ч

Вместе выполнили всю работу 2(х+у).

Вторая траншея ( точно такая же).

---------производительность в час  -- время

1 рабочий         $\frac{1}{3}$*х                                      1 ч ,

2 рабочий        3у                                       1 ч.

Вместе выполнили всю работу 1*( $\frac{1}{3}$х+3у).

Т.к. работа одна и та же , то 2(х+у)=1( $\frac{1}{3}$ х+3у) или

2х+2у=$\frac{1}{3}$ х+3у

2х-$\frac{1}{3}$ х=3у-2у

$\frac{5}{3}$ х=у ,  у=$\frac{5}{3} x$ . Производительность 2-го превосходит

производительность первого в 5/3 раза

II способ

Первая траншея .Пусть объем всей работы 1

-------время на выполнение всей работы -- произв-сть

1 рабочий       х                                                       1/х  ;

2 рабочий      у                                                        1/у .  

Вместе выполнили всю работу за 2 часа  : 2($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$ )=1 , или

 1/х+1/у=1/2

Вторая траншея ( точно такая же).

------время на выполнение всей работы -- производит-сть

1 рабочий        3 х                                                       $\frac{1}{3x}$ ;

2 рабочий        у/3                                                     3/у.                

Вместе выполнили всю работу за 1 час  : 1( $\frac{1}{3x}$+$\frac{3}{y}$)=1.

Решаем систему

{  $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2}$  ,   ⇒  введем замену 1/х=а, 1/у=в  { а+в=1/2 ,

{  $\frac{1}{3x}$+$\frac{3}{y}$=1 ,                                                         { $\frac{1}{3}$*а+3в=1 , |*(-3)  

Или

{ а+в=$\frac{1}{2}$  ,

{ -а-9в=-3 , сложим почленно в-9в=$\frac{1}{2}$-3 или  -8в=-$\frac{5}{2}$ или в=$\frac{5}{16}$.

Тогда а=$\frac{1}{2}$-в=1/2-5/16=8/16-5/16=3/16.

Производительность первого   $\frac{1}{x}$=$\frac{3}{16}$  , производительность второго  $\frac{1}{y}$=$\frac{5}{16}$ . Тогда  5/16:3/16=5/3.

Производительность второго превосходит производительность 1-го изначально в $\frac{5}{3}$ раза.