Question

Найти все функции f: R-R такие, что для всех действительных x и y используют уравнение f(x+y)+x^2+y^2=f(x^2+y^2)+x+y

Answer 1

$x=-y:f(-y+y)+(-y)^2+y^2=f((-y)^2+y^2)-y+y\\ f(0)+2y^2=f(2y^2)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(1)\\ x=y: f(y+y)+y^2+y^2=f(y^2+y^2)+y+y\\ f(2y)+2y^2=f(2y^2)+2y\:\:\:(2)\\ (2)-(1):f(2y)-f(0)=2y\\ y=\dfrac{z}{2}, z\in R:f(z)=z+f(0)=>f(z)=z+C, C=const, C\in R$

Проверка: $f(x+y)+x^2+y^2=f(x^2+y^2)+x+y\\ x+y+C+x^2=y^2=x^2+y^2+C+x+y$ - Верно.