Question

В связке,определяемой плоскостями x+y–z+2=0, 4x–3y+z–1=0 и 2x+y–5=0 найти плоскость, проходящую через начало координат и точку P(1;3;2)

Answer 1

В связке плоскостей x+y–z+2=0, 4x–3y+z–1=0 и 2x+y–5=0 найдём центр - точку, общую для всех трёх плоскостей.

Используем решение СЛАУ методом Крамера.

x y z B -9 Определитель

1 1 -1 2  

4 -3 1 -1  

2 1 0 -5  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:      

2 1 -1  9 Определитель

-1 -3 1    

-5 1 0    

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:      

1 2 -1  27 Определитель

4 -1 1    

2 -5 0    

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:      

1 1 2  54 Определитель

4 -3 -1    

2 1 -5    

x = -1    

y = -3    

z = -6    

Теперь имеем 3 точки для определения искомой плоскости.

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно. Уравнение определяется из следующего выражения.               (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, получаем:

-12x + 4y + 0z + 0 = 0 , сократив на -4:

3x - y + 0z + 0 = 0 .