Question

$\frac{x}{2 - x} - \frac{3}{4 } \times \sqrt{ \frac{x}{2 - x} } \geqslant \frac{1}{4}$
​

Answer 1

x/(2 - x) - 3/4 * √(x/(2 - x)) ≥ 1/4

ОДЗ x/(2 - x) ≥ 0

x/(x - 2) ≤ 0

+++++[0] ---------- (2) ++++++

х∈ [0  2)

x/(2 - x) - 2 *3/8 * √(x/(2 - x)) + 9/64 - 9/64 ≥ 1/4

√(x/(2 - x)) = t >=0

t² - 2 * 3/8 * t + (3/8)² ≥ 16/64 + 9/64

(t - 3/8)² - (5/8)² ≥ 0

(t - 3/8 - 5/8)(t - 3/8 + 5/8) ≥ 0

(t - 1)(t + 1/4) ≥ 0

вторая скобка больше 0 всегда - отбрасываем ее

t - 1 ≥ 0

√(x/(2 - x)) ≥ 1

x/(2-x) - (2-x)/(2-x) ≥ 0

(x - 2 + x)/(2 - x) ≥ 0

(2x - 2)/(x - 2) ≤ 0

+++++++[1] ---------- (2) ++++++

х∈[1  2)

пересекаем с ОДЗ

x∈[1  2)