Question

//////////////////////////////////////////ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!!!!!!!!!!!!!!!1////////////////////////////
Сколько существует троек натуральных чисел a,b,c, удовлетворяющих уравнению a+ab+abc+ac+c=410?​

Answer 1

$a+ab+abc+ac+c=a(1+b+c+bc)+c=a(1+b)(1+c)+(1+c)-1=\\=(1+a+ab)(1+c)-1=410\\(1+a+ab)(1+c)=411$

Разложим 411 на простые множители:

411 = 3 * 137

При этом заметим, что представление 411 как 1 * 411 нас не интересует:

1+a+ab ≥ 3 и 1+c≥2

Итак, первый случай. 1+a+ab=3. Тогда a=b=1, c=137-1=136. - всего 1 вариант

Второй случай: c=3-1=2

1+a+ab=137

a(1+b)=136

136=2³*17 - всего (3+1)*(1+1)=8 способов разложить на 2 множителя. При этом не подходит только один способ 136 * 1, так как 1+b≥2

Итого 1+8-1=8 троек

Ответ: 8 троек