Question

f(x) стремится к 0
g(x) к бесконечности
решить: lim(1+f(x))^g(x)=?​

Answer 1

Вообще есть второй замечательный предел.

$\lim_{t \to \infty}{\bigg(1+\frac{1}{t}\bigg)^t } =e$

Но это нам не подходит, судя по условию задачи.

Есть "перевернутая" модификация

$\lim_{t \to 0} (1+t)^ {\frac{1}{t} }=e$

Вот это нам уже ближе.

Это можно воспринимать как замену переменных. В нашем случае $t=f(x), x \to \infty \Rightarrow f(x) \to 0$

А это и есть $f(x)=t \to 0$

$\lim_{x \to \infty} (1+f(x))^{\frac{f(x)\cdot g(x)}{f(x)} }= \lim_{x \to \infty} \bigg((1+f(x))^{\frac{1}{f(x)} }\bigg)^{f(x)\cdot g(x)}=e^{f(x)\cdot g(x)}$

То есть

$\boxed{ \lim_{x \to \infty} (1+f(x))^{g(x)}=e^{f(x)\cdot g(x)} }$

при $f(x) \to 0; g(x) \to \infty$