Question

Есть задача: "Как надо расположить две линзы, чтобы параллельные лучи (см. рис.), пройдя через линзы, остались параллельными?"

У меня получилось решить только для случая, когда лучи параллельны главной оптической оси. Есть ли решение для случая, изображенного на рисунке?

Answer 1

Ответ:

Нужно, чтобы фокусы обеих линз справа от них были совмещены, тогда требование задачи выполнится. Фокусы могут быть разными по модулю. В случае, когда они равны по модулю, то линзы надо ставить плотно, как и было указано в таком частном случае.

Объяснение:

Краткое объяснение на втором изображении.

Далее – полное объяснение.

Поставим на одной оптической оси положительную линзу с фокусным расстоянием и соответствующей силой  $f_p = \frac{1}{D_p} > 0$  и отрицательную линзу с фокусным расстоянием и соответствующей силой  $f_n = \frac{1}{D_n} < 0$  , как показано на чертеже.

Направим тонкий пучок света на поверхность положительной линзы под углом к главной оптической оси  $\alpha$  в точку  $A$  , отстоящую от оптической оси на расстояние  $y$  .

Проведём воображаемый луч  $OP$  через главный оптический центр положительной линзы параллельно пучку света до пересечения с фокальной плоскостью положительной линзы в точке  $P$  . По правилам построения изображения в тонких линзах, в точку  $P$  направится и пучок света сразу после преломления положительной линзой. Отсюда мы можем найти угол  $\varphi$  , преломления пучка света в положительной линзе:

$tg \varphi = \frac{ AO + PF_p }{ OF_p } = \frac{ y + f_p tg \alpha }{ f_p } = \frac{y}{ f_p } + tg \alpha$  ;

Понятно, что под тем же углом  $\varphi$  к главной оптической оси первично преломленный в положительной линзе пучок упадёт на поверхность отрицательной линзы.

Пусть линзы установлены на расстоянии  $x$  друг от друга, тогда, как легко найти по чертежу, точка  $B$  падения пучка на поверхность отрицательной линзы, отстоит от оптической оси на расстояние:

$z = y - x tg \varphi = y - \frac{xy}{ f_p } - x tg \alpha$  .

Будем считать, что данный пучок между линзами направлен в некоторую точку  $N$  фокальной плоскости отрицательной линзы. После вторичного преломления в отрицательной линзе пучок отклонится от этой точки вверх.

Проведём воображаемый луч  $QN$  через главный оптический центр отрицательной линзы. По правилам построения изображения в тонких линзах, пучок света сразу после преломления отрицательной линзой, направится параллельно построенному воображаемому лучу. Отсюда мы можем найти угол  $\beta$  , полного преломления пучка по прохождении света через обе линзы:

$tg \beta = \frac{ NF_n }{ QF_n } = \frac{ |f_n| tg \varphi - BQ }{ |f_n| } = tg \varphi - \frac{z}{ |f_n| } = \frac{y}{ f_p } + tg \alpha - \frac{y}{ |f_n| } + \frac{xy}{ f_p |f_n| } + \frac{x}{ |f_n| } tg \alpha =$

$= ( 1 + \frac{ x }{ |f_n| } ) tg \alpha + \frac{y}{ f_p |f_n| }( |f_n| - f_p + x ) = ( 1 + \frac{ x }{ |f_n| } ) tg \alpha + \frac{ ( f_p + f_n ) - x }{ f_p f_n } \cdot y$  ;

Отсюда хорошо видно, что если мы направим широкий параллельный пучок на положительную линзу под некоторым углом  $\alpha$  к главной оптической оси, с разными по ширине пучка значениями вертикальной координаты точки падения  $y$  , то угол преломления по прохождении через обе линзы окажется независимым от координаты  $y$  лишь в том случае, когда выполняется условие:

$f_p + f_n = x$  , где  $f_n < 0$  .

Т.е., короче говоря, правые фокусы положительной и отрицательной линзы должны быть точно совмещены, тогда любые параллельные лучи слева после преломления окажутся параллельными и справа.

Вообще, это рассуждение так же верно и для случая:

$f_1 + f_2 = x$  , где  $f_1 > 0$  и  $f_2 > 0$  , только в этом случае нужно совместить фокусы положительных линз, находящиеся между ними.

В обоих случаях мы получим телескоп или микроскоп! В случае с положительными линзами – классическую схему, а в случае с правой отрицательной – схему Ньютона.

$\beta = arctg \frac{ f_p }{ |f_n| } tg \alpha \approx \frac{ f_p }{ |f_n| } \alpha$  , в котором увеличение объектов и увеличение угла преломления параллельного пучка – суть две стороны одной медали:

$\Gamma = \frac{ f_p }{ |f_n| }$  .