Помогите пожалуйста
Через вершины А и В единичного квадрата ABCD проходит
окружность, пересекающая прямые AD и AC в точках Ки М, отличных
от А. Найдите длину проекции КМ на АС.
Ответы
1-ый случай: точки М и К находятся внутри квадрата
BM = KM - отрезки, опирающиеся на равные дуги, ∠ВАМ = ∠КАМ = 45°
∠А = 90° ⇒ ВК - диаметр окружности ⇒ ∠ВМК = 90°
∠КМЕ = 90° - ∠ВМЕ = ∠МВЕ ⇒ ΔКМН = ΔВМЕ по гипотенузе и острому углу ⇒ МН = ВЕ
ВЕ - высота прямоугольного равнобедренного ΔАВС
МН = ВЕ = АС/2 = √2/2
2-ой случай: точки М и К находятся левее от квадрата
∠ВАК = 90° ⇒ АК - диаметр окружности ⇒ ∠КМА = 90°
∠ВАС = ∠САD = ∠KAM = 45° - как вертикальные углы
∠КАМ = ∠КВМ = 45° - углы, опирающиеся на общую дугу
ΔКВМ - прямоугольный и равнобедренный ⇒ КМ = ВМ
∠МКН = 90° - ∠КМН = ∠ВМЕ ⇒ ΔКАН = ΔВМЕ по гипотенузе и острому углу ⇒ МН = ВЕ = √2/2
3-ий случай: точки М и К находятся правее от квадрата
ВМ = МК - отрезки, опирающиеся на равные дуги, ∠ВАС = ∠CAD = 45°
∠А = 90° ⇒ ВК - диаметр окружности ⇒ ∠ВМК = 90°
∠МКН = 90° - ∠КМН = ∠ВМЕ ⇒ ΔМКН = ΔВМЕ по гипотенузе и острому углу ⇒ МН = ВЕ = √2/2
Ответ: √2/2
