Question

Пожалуйста, помогите решить задание по функции, заранее огромное спасибо!

Исследуйте функцию и постройте её график с помощью производной по данной схеме исследования:

1) D(y)
2) Нули функции;
3) Чётность/нечётность, симметричность графика;
4) Точки разрыва, монотонность;
5) Промежутки возр./убыв.;
6) Промежутки выпуклости;
7) График;
8) Дополнительные точки.

Answer 1

ДАНО:  x/∛(x²-1)

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения.

(x²-1) = (x-1)*(x+1) ≠ 0. x ≠ +/- 1 - разрывы.

D(y) = (-∞;-1)∪(-1;1)∪(1;+∞)  

2. Вертикальные асимптоты: Х = -1, Х = 1.

3. Пересечение с осью Х - Y(x) = 0 -  х=0.

4. Пересечение с осью Y - Y(0) = 0.

5. Поведение в точках разрыва.

lim(-1-) = -∞, lim(-1+) = +∞, lim(1-) = -∞, lim(1+) = +∞,  

Е(у) = (-∞;+∞) - область значений.

6. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: X∈(-1;0)∪(1;+∞),

Отрицательна: X=(-∞;-1)∪(0;1)

7. Проверка на чётность.

Y(-x) = -Y(x) - функция нечетная.

8. Поиск экстремумов - корни первой производной.

$y'(x)=-2\frac{x^2}{3*(x^2-1)^(4/3)}+\frac{1}{(x^2-1)^(1/3)}=\frac{x^2-3}{3*(x^2-1)^(4/3)}=0$

x² - 3 = 0,  x = ± 3 (≈ 1.7) - точки экстремумов.

9. Локальный экстремум.

Максимум Y(-√3) ≈ -1,37

Минимум Y(√3) ≈ 1.37.

10. Интервалы монотонности.

Возрастает: X∈(-∞;-√3)∪(√3;+∞), убывает: X∈(-√3;-1)∪(-1;1) .

11. Поиск перегибов - корни второй производной.

$y"(x)=\frac{2x*(9-x^2)}{9*(x^2-1)^(7/3)}=0$

9 - х² = 0.  х = ±3 - точки перегиба.

12. Выпуклая - "горка" - X∈(-3;-1)∪(0;1)∪(3;+∞)

вогнутая - "ложка" - X∈(-∞;-3)∪(-1;0)∪(1;3).

13. График на рисунке в приложении.